ans 2500 ......... pour approcher l’inconcevable : l'infini

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2500 ans pour approcher l’inconcevable : l'infini

Étrange et paradoxal, fascinant voire dangereux, le concept d’infini a alimenté la réflexion des philosophes et savants pendant des siècles, effrayant les théologiens médiévaux qui y voyaient une offense à Dieu… Jusqu’à devenir indispensable à la science

Cet article est extrait des "Indispensables" de Sciences et Avenir n°202, dédié à la thématique de "l'infini", en vente en kiosque de juillet à septembre 2020.

"La seule chose vraiment infinie est notre ignorance". C'est pour tenter d'en savoir un peu plus que le physicien Carlo Rovelli s'est lancé dans une quête qui l'a conduit, en 2015, à consacrer un livre à un philosophe grec peu connu, Anaximandre de Milet, né il y a 26 siècle environ. "Anaximandre est le premier à avoir compris que le ciel n'est pas une boîte fermée avec des murs et un plafond sur lequel sont fixés le soleil et les étoiles, comme le pensaient les traditions précédentes, notamment celles d'Egypte, de Chine et de Babylone", s'enthousiasme-t-il. Autrement dit, il découvre que notre monde s'étend bien au-delà de notre horizon visuel. Pour autant, "s'il existe des textes qui rapportent qu'Anaximandre a évoqué un monde infini, c'est seulement de manière très vague", souligne le physicien. Comme son maître Thalès, Anaximandre cherche à ramener toute chose à un principe organisateur unique. Mais alors que pour son aîné, cette substance primordiale était de l'eau, Anaximandre voit en l'apeiron - l'illimité ou l'indéfini - la base de toute chose.

Quelques décennies plus tard, avec Pythagore et ses disciples, l’infini va surgir en mathématiques, porté par une interrogation qui nous semble aujourd’hui toute simple : quel est le rapport entre la diagonale d’un carré et son côté ? La réponse est alors loin d’être évidente, car les savants grecs ne connaissent que deux sortes de nombres : les entiers, et les fractions qu’ils permettent d’engendrer. Or, la diagonale et le côté d’un carré sont incommensurables, découvrent les pythagoriciens. Autrement dit, il n’existe pas de nombre entier dont ces deux segments seraient des multiples. Et pour cause, le rapport entre les deux vaut √2, une quantité irrationnelle, impossible à exprimer sous forme d’un ratio, et pour les Grecs, contraire à la raison ! Comme l’a expliqué la philosophe et mathématicienne Hourya Benis-Sinaceur, de l’Institut d’histoire et philosophie des sciences et des techniques (université Paris Panthéon Sorbonne), lors d’un colloque en 2018, cette découverte "fut un choc dont résulta la distinction de genre entre nombre et grandeur continue". Un bouleversement tel qu’il suscitera une légende rapportée au 5e siècle après J.-C. par le philosophe grec Proclus : "On dit que les gens qui ont divulgué les nombres irrationnels ont péri dans un naufrage jusqu’au dernier, car l’inexprimable, l’informe, doit être absolument tenu secret."

Le paradoxe d’Achille : sur une distance finie, le héros ne parvient pas à rattraper la tortue
Le "choc" décrit par Hourya Benis-Sinaceur va engendrer des développements féconds au cours des décennies suivantes, avec les travaux de Parménide et surtout de son élève Zénon d’Élée (5e siècle avant J.-C.). "Ce dernier nous a légué toute une série de paradoxes portant sur l’infini, raconte Carlo Rovelli. Il explique par exemple que l’on peut diviser par deux un segment de longueur finie une infinité de fois." Un autre de ces paradoxes met en scène le légendaire Achille. Le héros mythologique doit rattraper une tortue sur une distance finie, au prix d’un handicap de départ de cent mètres puisque cette dernière est beaucoup plus lente. Selon Zénon d’Élée, il n’y parviendra pas, car à chaque avancée du guerrier, la tortue aura elle aussi progressé. Autrement dit, pour le philosophe, la somme d’un nombre infini de longueurs de plus en plus petites ne peut être finie. Cette conclusion contraire à l’expérience ordinaire ne sera totalement démentie qu’au 17e siècle par le mathématicien écossais James Gregory, qui montre qu’une somme infinie de nombres strictement positifs peut converger vers un nombre fini. Par exemple, la série 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32… converge vers 1. Dans l’intervalle, ce paradoxe d’Achille aura alimenté la réflexion des mathématiciens et philosophes pendant de nombreux siècles…

"C’est Aristote, au 4e siècle avant J.-C., qui va poser le cadre conceptuel de l’infini voué à rester en vigueur au moins jusqu’au mathématicien tchèque Bernhard Bolzano, au début du 19e siècle", explique Hourya Benis-Sinaceur. Il distingue l’"infini en acte", effectif et concret, qui ne peut se réaliser dans la nature, et l’"infini en puissance", celui que peuvent imaginer les Hommes, le seul à exister réellement. "Il appelle ce dernier infini potentiel : il correspond à l’idée qu’il existe toujours un nombre plus grand que celui qu’on considère", confirme Jean-Paul Delahaye, mathématicien et chercheur en informatique à l’université de Lille. Ce qu’établira Euclide vers 300 avant J.-C. Dans son livre III de la Physique, Aristote écrit ainsi que les mathématiciens "n’ont pas besoin et ne font pas usage de l’infini ; ils utilisent des grandeurs aussi vastes qu’ils le souhaitent, mais limitées". Pour lui, un objet est formé d’un nombre fini de parties - il n’y a donc pas d’infini en acte - mais il peut être divisé, potentiellement, en une infinité de parties.



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